Utilizando análisis dimensional y usando las constantes universales h (constante de planck), c (velocidad de la luz en el vacío), y G (constante de gravitación universal) calcular tres unidades naturales de T, L y M, siendo t,l, y m respectivamente.
Para efectuar tales operaciones utilizaremos formulas en las que aparezcan constantes universales, así como también sus dimensiones.
Para la velocidad de la luz tenemos la siguiente formula:
c=T/L, de donde [c]=[l]/[t]
Luego utilizando las siguientes formulas
F=G(mM/r^2)
F=ma,
Se deduce que
ma=G(mM/r^2), despejando a G obetenemos lo siguiente:
G= ar^2/M, luego entonces usando las dimensiones obtenemos lo siguiente:
[G]=[a][r^2]/[M] = [v/t][L^2]/M = L^3/(T^2 M), entonces:
MG=L^3/L^2= K una constante universal por la tercera ley de Kepler.
Además, G también es una constante universal con lo cual.
M=L^3/(T^2 G), por lo que
m=l^3/t^2 G ...........................................................(ec. 1)
Ahora bien utilizando las siguientes ecuaciones que involucra a la constante h lo siguiente:
E= hv, de donde h= E/v
Por otro lado
E=mgh, donde:
[v]=[f]=1/T,
[E]=M(L/T^2)L=ML^2/T^2, por lo tanto
[h]=ML^2/T, entonces,
h=ml^2/t, despejando a m resulta:
m=ht/l^2=h/cl .......................................................(ec. 2)
Luego efectuando el producto de (ec. 1) por la (ec. 2) resulta:
m^2=(l^3/t^2 G)(h/cl)= (l^2/t^2)(h/Gc)= ch/G, con lo cual:
m=(ch/G)^(1/2), la cual es unidad natural de M
Ahora bien utilizando las (ec. 1) y la (ec. 2), y despejando en ambas ecuaciones a l obtenemos lo siguiente:
l= mG/c^2 y
l= h/cm luego efectuando el producto de ambas ecuaciones resulta:
l^2=(mG/c^2)(h/cm)=hG/c^3, despejando a l resulta que:
l= (hG/c^3)^(1/2), la cual es unidad natural para L.
Para calcular t vamos a utilizar las (ec. 1) y la (ec. 2)
Primeramente utilizando la (ec. 1) y al multiplicarla por 1/t resultando lo siguiente:
m/t=(l^3/t^3)(1/G); de donde (l^3/t^3)=c^3, con lo cual m/t=c^3/G
luego despejando a t obtenemos como resultado.
t=Gm/c^3................................................................(ec. 3)
Ahora bien utilizando a la (ec. 2), y multiplicamos en ambos miembros por t obteniendo lo siguiente:
tm= ht/cl=h/c^2, despejando a t obtenemos lo siguiente.
t=h/c^2m...............................................................(ec.4)
Ahora bien efectuando el producto de (ec. 3) por la (ec. 4) obtenemos el siguiente resultado
t^2= (Gm/c^3)(h/c^2m)=hG/c^5, despejando a t obtenemos que:
t=(Gh/c^5)^(1/2), la cual es unidad natural para T.
Por lo tanto podemos concluir lo siguiente;
m=(ch/G)^(1/2), es unidad natural de M.
l= (hG/c^3)^(1/2), es unidad natural para L.
t=(Gh/c^5)^(1/2), es unidad natural para T.
