LA ACELERACION DE UN TREN EN UN INTERVALO DE TIEMPO DE $t=2s$ A $t=4s$ ES $a=2t m/s^2$ Y QUE EN $t=2s$ SU VELOCIDAD ES $v=50 m/s$ ¿CUAL SERA SU DESPLAZAMIENTO (CAMBIO DE POSICIÓN) ENTRE $t=2s$ Y $t=4s$
ESCRIBIMOS LA ECUACIÓN COMO:
$dv=adt=2tdt$
E INTEGRAMOS CON LACONDICIÓN DE QUE $v=50 m/s$ EN $t=2s$:
$\int_{50}^{v} \, dv=\int_{2}^{t} 2t\, dt$
EVALUANDO LAS INTEGRALES OBTENEMOS:
$v=t^2+46 m/s$
AHORA QUE CONOCEMOS LA VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL TIEMPO ESCRIBIMOS LA EC. COMO.
$ds=vdt=(t^2+46)dt$
E INTEGRAMOS, DEFINIENDO LA POSICIÓN DEL TREN EN $t=2s$ COMO $s=0$
$\int_{0}^{s} \, ds=\int_{2}^{t} (t^2+46)\, dt$
LA POSICIÓN EN FUNCIÓN DEL TIEMPO ES
$s= \frac{1}{3}t^+46t-94.7 m$
USANDO LAS ECUACIONES PARA LA VELOCIDAD Y PARA LA POSICIÓN LA VELOCIDA EN $t=4s$ ES
$v=(4)^2+46=62 m/s$
Y EL DEZPLAZAMIENTO ENTRE $t=2s$ Y $t=4s$ ES
$\Delta=[\frac{1}{3}(4)^3+46t-94.7]-0=110.7 m$
miércoles, 2 de febrero de 2011
PROBLEMA 2 DE DINAMICA
UN GUEPARDO PUEDE CORRER A 110 ft/s. SI SE SUPONE QUE LA ACELERACIÓN DEL ANIMAL ES CONSTANTE Y QUE ALCANZA SU VELOCIDAD MAXIMA EN 4s ¿A QUÉ DISTANCIA RECORRERÁ EN 10S.
ESTRATEGIA
LA ACELERACIÓN TIENE UN VALOR CONSTANTE DURANTE LOS PRIMEROS 4s Y LUEGO ES CERO PODEMOS TERMINAR LA DISTANCIA RECORRIDA DURANTE CADA UNA DE ESAS “FASES” DEL MOVIMIENTO Y SUMARLAS PARA OBTENER LA DISTANCIA TOAL RECORRIDA.
SEA $a_0$ LA ACELERACIÓN DURANTE LOS PRIMEROS 4 s INTEGRANDO
$\int_{0}^{v}\, dv=\int_{0}^{t} a_o\, dt$
OBTENIENDO LA VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL TIEMPO DURANTE LOS PRIMEROS 4s
$v=a_0t ft/s$
CUANDO $t=4$, $v=110 ft/s$ $a=110/4=27.5 ft/s^2$ ahora integraremos
$\int_{0}^{s}\, ds=\int_{0}^{t} 27.5\, dt$
Y OBETENDREMOS LA POSICIÓN COMO FUNCIÓN DE TIEMPO DURANTE LOS PRIMEROS 4S:
$s=13.75 t^2$
EN $t=4$ LA POSICIÓN ES
$s=13.73(4)^2$=220 ft$
DE $t=4$ a $t=10$ SU VELOCIDAD ES CONSTANTE. LA DISTANCIA RECORRIDA ES:
$s=(110 ft/s)(6s)=660 ft$
LA DISTANCIA TOTAL QUE EL ANIMAL RECORRE EN 10s ES
$Distacia_t=220 ft+660 ft= 880 ft$
ESTRATEGIA
LA ACELERACIÓN TIENE UN VALOR CONSTANTE DURANTE LOS PRIMEROS 4s Y LUEGO ES CERO PODEMOS TERMINAR LA DISTANCIA RECORRIDA DURANTE CADA UNA DE ESAS “FASES” DEL MOVIMIENTO Y SUMARLAS PARA OBTENER LA DISTANCIA TOAL RECORRIDA.
SEA $a_0$ LA ACELERACIÓN DURANTE LOS PRIMEROS 4 s INTEGRANDO
$\int_{0}^{v}\, dv=\int_{0}^{t} a_o\, dt$
OBTENIENDO LA VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL TIEMPO DURANTE LOS PRIMEROS 4s
$v=a_0t ft/s$
CUANDO $t=4$, $v=110 ft/s$ $a=110/4=27.5 ft/s^2$ ahora integraremos
$\int_{0}^{s}\, ds=\int_{0}^{t} 27.5\, dt$
Y OBETENDREMOS LA POSICIÓN COMO FUNCIÓN DE TIEMPO DURANTE LOS PRIMEROS 4S:
$s=13.75 t^2$
EN $t=4$ LA POSICIÓN ES
$s=13.73(4)^2$=220 ft$
DE $t=4$ a $t=10$ SU VELOCIDAD ES CONSTANTE. LA DISTANCIA RECORRIDA ES:
$s=(110 ft/s)(6s)=660 ft$
LA DISTANCIA TOTAL QUE EL ANIMAL RECORRE EN 10s ES
$Distacia_t=220 ft+660 ft= 880 ft$
martes, 1 de febrero de 2011
UN GRAN HOMBRE
ESTA ES FORMULA MATEMATICA IDEAL PARA SER MEJOR PARA TI GRAN HOMBRE
Para mis “Amigas Mujeres" para que sepan elegir a ese GRAN HOMBRE que Dios tiene para ustedes... Le envío esto a mis “Amigos Hombres"... para que hagan crecer a ese Gran Hombre que llevan dentro Es la primera vez que escribo sobre nosotros los hombres, hombres que siempre nos caracterizamos por ser el sexo fuerte, aunque muchas veces, caemos por debilidad. Un día, mi hermana lloraba en su habitación con mi padre, Los escuché hablando por horas, pero hubo una frase tan especial que dijo mi padre esa tarde, que hasta el día de hoy, 8 años más tarde..., la recuerdo cada mañana y me llena de fuerzas Con mucha nostalgia, observe que mi padre se le acercó...y le preguntó el motivo de su tristeza Mi padre acariciándole el rostro, le dijo: "Hija mía, enamórate de un Gran Hombre y no volverás a llorar"... Me pregunté tantas veces, cuál era la fórmula exacta para llegar a ser ese Gran Hombre y no dejarme vencer por las pequeñeces Aprendí que un Gran Hombre... NO es aquel que compra todo lo que desea, pues habemos tantos que hemos comprado hasta el cariño y el respeto de quienes nos rodean... Conforme pasan los años... descubrimos que si tan solo todos los hombres, lucháramos por ser grandes de espíritu, grandes de alma y grandes de corazón ¡el mundo sería completamente distinto! Mi padre le decía: NO busques a un hombre que solo hable de sí mismo, sin preocuparse por ti... Ni a aquel que se pase las horas halagando sus propios logros NO te aferres a un hombre que te critique y te diga lo mal que te ves... o lo mucho que deberías cambiar... ¿Para qué quieres a un hombre que te abandonará si no cambias, por un cabello más claro? ¿Por unos ojos de otro color?, ¿O por un cuerpo más esbelto? si no supo admirar la verdadera belleza que hay en ti. Cuántas veces me dejé llevar por la superficialidad de las cosas, haciendo a un lado a quienes realmente me entregaban su sinceridad e integridad Me costó trabajo comprender que un Gran Hombre… NO es el que llega más alto, NI el que tiene más dinero, casa, carro, NI el que vive rodeado de mujeres, ni mucho menos el más guapo. Es aquel ser humano lleno de transparencia, que no oculta sus verdaderos sentimientos ni se refugia en vicios y cortinas de humo Y además Un Gran Hombre, es el que camina de frente, sin bajar la mirada Un verdadero y Gran hombre... Es el que abre su corazón sin rechazar la realidad Es quien admira a una mujer por sus cimientos morales y grandeza interior Es aquel que no miente, y sabe llorar su dolor... Hoy mi hermana está felizmente casada, y ese Gran Hombre con quien se casó... NO era ni el más popular, NI el más perseguido, NI el más solicitado, NI mucho menos el más adinerado Ese Gran Hombre es quien simplemente nunca la hizo llorar, es quien la hace sonreír por lo mucho que han logrado juntos, por todos sus recuerdos, por cada alegría que comparten y por esos hijos que llenan sus vidas Ese Gran Hombre, ama tanto a mi hermana que no se cansa de besar sus manos, y mucho menos sus labios... La quiere por quien ella es... y por lo que son cuando están juntos A ti Mujer… El Gran Hombre… si existe! Búscalo, tomate tu tiempo Y a ti Hombre… has crecer a ese Gran hombre que llevas dentro porque tú solo tú y solamente tú eres ese GRAN HOMBRE... ans
ATT: JULIO CESAR ABRAJAN MORALES (THE FRIEND SPIDER)
Para mis “Amigas Mujeres" para que sepan elegir a ese GRAN HOMBRE que Dios tiene para ustedes... Le envío esto a mis “Amigos Hombres"... para que hagan crecer a ese Gran Hombre que llevan dentro Es la primera vez que escribo sobre nosotros los hombres, hombres que siempre nos caracterizamos por ser el sexo fuerte, aunque muchas veces, caemos por debilidad. Un día, mi hermana lloraba en su habitación con mi padre, Los escuché hablando por horas, pero hubo una frase tan especial que dijo mi padre esa tarde, que hasta el día de hoy, 8 años más tarde..., la recuerdo cada mañana y me llena de fuerzas Con mucha nostalgia, observe que mi padre se le acercó...y le preguntó el motivo de su tristeza Mi padre acariciándole el rostro, le dijo: "Hija mía, enamórate de un Gran Hombre y no volverás a llorar"... Me pregunté tantas veces, cuál era la fórmula exacta para llegar a ser ese Gran Hombre y no dejarme vencer por las pequeñeces Aprendí que un Gran Hombre... NO es aquel que compra todo lo que desea, pues habemos tantos que hemos comprado hasta el cariño y el respeto de quienes nos rodean... Conforme pasan los años... descubrimos que si tan solo todos los hombres, lucháramos por ser grandes de espíritu, grandes de alma y grandes de corazón ¡el mundo sería completamente distinto! Mi padre le decía: NO busques a un hombre que solo hable de sí mismo, sin preocuparse por ti... Ni a aquel que se pase las horas halagando sus propios logros NO te aferres a un hombre que te critique y te diga lo mal que te ves... o lo mucho que deberías cambiar... ¿Para qué quieres a un hombre que te abandonará si no cambias, por un cabello más claro? ¿Por unos ojos de otro color?, ¿O por un cuerpo más esbelto? si no supo admirar la verdadera belleza que hay en ti. Cuántas veces me dejé llevar por la superficialidad de las cosas, haciendo a un lado a quienes realmente me entregaban su sinceridad e integridad Me costó trabajo comprender que un Gran Hombre… NO es el que llega más alto, NI el que tiene más dinero, casa, carro, NI el que vive rodeado de mujeres, ni mucho menos el más guapo. Es aquel ser humano lleno de transparencia, que no oculta sus verdaderos sentimientos ni se refugia en vicios y cortinas de humo Y además Un Gran Hombre, es el que camina de frente, sin bajar la mirada Un verdadero y Gran hombre... Es el que abre su corazón sin rechazar la realidad Es quien admira a una mujer por sus cimientos morales y grandeza interior Es aquel que no miente, y sabe llorar su dolor... Hoy mi hermana está felizmente casada, y ese Gran Hombre con quien se casó... NO era ni el más popular, NI el más perseguido, NI el más solicitado, NI mucho menos el más adinerado Ese Gran Hombre es quien simplemente nunca la hizo llorar, es quien la hace sonreír por lo mucho que han logrado juntos, por todos sus recuerdos, por cada alegría que comparten y por esos hijos que llenan sus vidas Ese Gran Hombre, ama tanto a mi hermana que no se cansa de besar sus manos, y mucho menos sus labios... La quiere por quien ella es... y por lo que son cuando están juntos A ti Mujer… El Gran Hombre… si existe! Búscalo, tomate tu tiempo Y a ti Hombre… has crecer a ese Gran hombre que llevas dentro porque tú solo tú y solamente tú eres ese GRAN HOMBRE... ans
ATT: JULIO CESAR ABRAJAN MORALES (THE FRIEND SPIDER)
PROBLEMA DE DINAMICA
DURANTE LA PRUEBA DE UN VEHICULO QUE VA SER LANZADO POR PARACAIDAS SE CALCULA QUE SU VELOCIDAD AL TOCAR AL SUELO DE DE $20 ft/s$ SI SE SUELTA EL VEHICULO DESDE UN EDIFICIO ¿A QUE HALTURA $h$ SE DEBE SOLTA PARA ASIMULAR LA CAÍDA CON PARACAÍDAS?.
ESTRATEGIA:
SUPONGAMOS QUE LA ACELERACIÓN DEL VEHÍCULO DURANTE SU CORTA CAÍDA ES $g=32.2 ft/seg ^2$ ASI PODEMOS DETERMINAR LA ALTURA
SOLUCIÓN:
CON AYUDA DEL CALCULO INTEGRAL INTEGRAREMOS:
$v=\frac{ds}{dt}$....EC..A
$a=\frac{dv}{dt}$....EC..B
SEA $s$ LA POSICIÓN DE LA PLATAFORMA QUE SOPORTA EL VEHICULO RESPECTO ASU POSICIÓN INICIAL. LA ACELERACIÓN DEL VEHÍCULO ES $a=32.2 ft/seg ^2$
INTEGRANDO OBTENEMOS:
$\frac{dv}{dt}=a=32.2 ft/seg^2$
$v=\int{32.2}\,dt$
$v=32.2t+A$
DONDE A ES UNA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN SI $t=0$ EN EL INSTANTE QUE EL VEHICULO SE SUELTA, $v=0$ CUANDO $t=0$ $\rightarrow$ $A=0$ Y AL VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL TIEMPO ES
$v=32.2t$
INTEGRANDO LA EC...A
$\frac{dS}{dt}=v=32.2t$
OBTENEMOS:
$s=\int{32.2t}\,dt$
$s=16.1t^2+B$
DE DONDE B ES UNA SEGUNDA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN. LA POSICIÓN $S=0$ CUANDO $t=0$ $\rightarrow$ $B=0$ Y LA POSICIÓN EN FUNCIÓN DEL TIEMPO ES:
$=16.1t^2$
DE LA ECUACIÓN PARA LA VELOCIDAD, EL TIEMPO DE CAIDA NECESARIO PARA QUE EL VEHICULO ALCANCE $20 ft/s$ ES $t=20/32.22=0.621 s$ SUSTITUYENDO EN LA ECUACION PARA LA POSICIÓN. LA ALTURA $h$ NECESARIA PARA SIMULAR LA CAÍDA EN PARACAIDAS ES
$h=16.1(0.621)^2=6.21 ft$ ans…
ESTRATEGIA:
SUPONGAMOS QUE LA ACELERACIÓN DEL VEHÍCULO DURANTE SU CORTA CAÍDA ES $g=32.2 ft/seg ^2$ ASI PODEMOS DETERMINAR LA ALTURA
SOLUCIÓN:
CON AYUDA DEL CALCULO INTEGRAL INTEGRAREMOS:
$v=\frac{ds}{dt}$....EC..A
$a=\frac{dv}{dt}$....EC..B
SEA $s$ LA POSICIÓN DE LA PLATAFORMA QUE SOPORTA EL VEHICULO RESPECTO ASU POSICIÓN INICIAL. LA ACELERACIÓN DEL VEHÍCULO ES $a=32.2 ft/seg ^2$
INTEGRANDO OBTENEMOS:
$\frac{dv}{dt}=a=32.2 ft/seg^2$
$v=\int{32.2}\,dt$
$v=32.2t+A$
DONDE A ES UNA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN SI $t=0$ EN EL INSTANTE QUE EL VEHICULO SE SUELTA, $v=0$ CUANDO $t=0$ $\rightarrow$ $A=0$ Y AL VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL TIEMPO ES
$v=32.2t$
INTEGRANDO LA EC...A
$\frac{dS}{dt}=v=32.2t$
OBTENEMOS:
$s=\int{32.2t}\,dt$
$s=16.1t^2+B$
DE DONDE B ES UNA SEGUNDA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN. LA POSICIÓN $S=0$ CUANDO $t=0$ $\rightarrow$ $B=0$ Y LA POSICIÓN EN FUNCIÓN DEL TIEMPO ES:
$=16.1t^2$
DE LA ECUACIÓN PARA LA VELOCIDAD, EL TIEMPO DE CAIDA NECESARIO PARA QUE EL VEHICULO ALCANCE $20 ft/s$ ES $t=20/32.22=0.621 s$ SUSTITUYENDO EN LA ECUACION PARA LA POSICIÓN. LA ALTURA $h$ NECESARIA PARA SIMULAR LA CAÍDA EN PARACAIDAS ES
$h=16.1(0.621)^2=6.21 ft$ ans…
viernes, 28 de enero de 2011
PROBLEMAS DE MECANICA
Un avión semueve horizontalmente con una velocidad uniforme de 720 km/h volando a una altura de 2000 m. Desde tierra se lanza un proyectil en el instante en que pasa por su vertical.
Hallar la velocidad inicial mínima y el ángulo necesario para batir al avión.
Respuesta
El proyectil debe ser lanzado con un ángulo de inclinación, , tal que pueda alcanzar al avión en altura y desplazamiento.
Si tenemos que vo debe ser la velocidad mínima, la altura a la que va el avión será la máxima.
De acuerdo con la ley de conservación de la energía, podemos igualar las energías cinética y potencial para escribir :
$mgh=1/2v^2sen^2\alpha $ $\rightarrow$ $h=200=1/2gv^2sen^2\alpha $
Por otro lado, tenemos que la componente horizontal del proyectil será constante e igual a la velocidad del avión :
$200=vcos\alpha$ $\rightarrow$ $v=200/cos\alpha$
Sustituyendo en la primera ecuación el valor de vo dado por la segunda, tenemos :
$200={1/2g}(200/cos\alpha)^2(sen^2\alpha)$ ; $tan^2\alpha=2000(2g)/200^2$
$\rightarrow$ $tan\alpha=1$ $\therefore$ $\alpha=45$
Y la velocidad inicial vendrá dada por :
Hallar la velocidad inicial mínima y el ángulo necesario para batir al avión.
Respuesta
El proyectil debe ser lanzado con un ángulo de inclinación, , tal que pueda alcanzar al avión en altura y desplazamiento.
Si tenemos que vo debe ser la velocidad mínima, la altura a la que va el avión será la máxima.
De acuerdo con la ley de conservación de la energía, podemos igualar las energías cinética y potencial para escribir :
$mgh=1/2v^2sen^2\alpha $ $\rightarrow$ $h=200=1/2gv^2sen^2\alpha $
Por otro lado, tenemos que la componente horizontal del proyectil será constante e igual a la velocidad del avión :
$200=vcos\alpha$ $\rightarrow$ $v=200/cos\alpha$
Sustituyendo en la primera ecuación el valor de vo dado por la segunda, tenemos :
$200={1/2g}(200/cos\alpha)^2(sen^2\alpha)$ ; $tan^2\alpha=2000(2g)/200^2$
$\rightarrow$ $tan\alpha=1$ $\therefore$ $\alpha=45$
Y la velocidad inicial vendrá dada por :
MECANICA NEWTONIANA
La mecánica newtoniana o mecánica vectorial es una formulación específica de la mecánica clásica que estudia el movimiento de partículas y sólidos en un espacio euclídeano tridimensional. Aunque la teoría es generalizable, la formulación básica de la misma se hace en sistemas de referencia inerciales donde las ecuaciones básicas del movimientos se reducen a las Leyes de Newton, en honor a Isaac Newton quien hizo contribuciones fundamentales a esta teoría.
En mecánica vectorial precisamos de tres ecuaciones escalares, o una ecuación vectorial, para el caso más simple de una sóla partícula:
$p=m{dv}/{dt} ={F}$
$p(x) = m{dv(x)/{dt} = F(x)$
$p(y) = m{dv(y)/{dt} = F(Y)$
$p(z) = m{dv(z){dt} = F(Z)$
y en el caso de sistemas formados por N partículas puntuales, el número de ecuaciones escalares es igual a 3N. Finalmente en en mecánica newtoniana también pueden tratarse aproximadamente los sólidos se se desprecian sus deformaciones mediante una ecuación vectorial para el movimiento de traslación del sólido y otra ecuación vectorial para el movimiento de rotación del sólido:
Estas ecuaciones constituyen la base de partida de la mecánica del sólido rígido
En mecánica vectorial precisamos de tres ecuaciones escalares, o una ecuación vectorial, para el caso más simple de una sóla partícula:
$p=m{dv}/{dt} ={F}$
$p(x) = m{dv(x)/{dt} = F(x)$
$p(y) = m{dv(y)/{dt} = F(Y)$
$p(z) = m{dv(z){dt} = F(Z)$
y en el caso de sistemas formados por N partículas puntuales, el número de ecuaciones escalares es igual a 3N. Finalmente en en mecánica newtoniana también pueden tratarse aproximadamente los sólidos se se desprecian sus deformaciones mediante una ecuación vectorial para el movimiento de traslación del sólido y otra ecuación vectorial para el movimiento de rotación del sólido:
Estas ecuaciones constituyen la base de partida de la mecánica del sólido rígido
INTRODUCCIÓN ALA MECANICA CLASICA
La mecánica clásica es una formulación de la mecánica para describir el movimiento de sistemas de partículas físicas de sistemas macroscópicos y a velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz.
Existen varias formulaciones diferentes, atendiendo a los principios que utilizan, de la mecánica clásica que describen un mismo fenómeno natural. Independientemente de aspectos formales y metodológicos, llegan a la misma conclusión.
•La mecánica vectorial, deviene directamente de las leyes de Newton, por eso también se le conoce con el gentilicio de newtoniana. Es aplicable a cuerpos que se mueven en relación a un observador a velocidades pequeñas comparadas con la de la luz. Fue construida en un principio para una sola partícula moviéndose en un campo gravitatorio. Se basa en el tratamiento de dos magnitudes vectoriales bajo una relación causal: la fuerza y la acción de la fuerza, medida por la variación del momento (cantidad de movimiento). El análisis y síntesis de fuerzas y momentos constituye el método básico de la mecánica vectorial. Requiere del uso privilegiado de sistemas de referencia inercial.
•La mecánica analítica (analítica en el sentido matemático de la palabra y no filosófico). Sus métodos son poderosos y trascienden de la Mecánica a otros campos de la física. Se puede encontrar el germen de la mecánica analítica en la obra de Leibniz que propone para solucionar los problemas mecánicos otras magnitudes básicas (menos oscuras según Leibniz que la fuerza y el momento de Newton), pero ahora escalares, que son: la energía cinética y el trabajo. Estas magnitudes están relacionadas de forma diferencial. La característica esencial es que, en la formulación, se toman como fundamentos primeros principios generales (diferenciales e integrales), y que a partir de estos principios se obtengan analíticamente las ecuaciones de movimiento.
Existen varias formulaciones diferentes, atendiendo a los principios que utilizan, de la mecánica clásica que describen un mismo fenómeno natural. Independientemente de aspectos formales y metodológicos, llegan a la misma conclusión.
•La mecánica vectorial, deviene directamente de las leyes de Newton, por eso también se le conoce con el gentilicio de newtoniana. Es aplicable a cuerpos que se mueven en relación a un observador a velocidades pequeñas comparadas con la de la luz. Fue construida en un principio para una sola partícula moviéndose en un campo gravitatorio. Se basa en el tratamiento de dos magnitudes vectoriales bajo una relación causal: la fuerza y la acción de la fuerza, medida por la variación del momento (cantidad de movimiento). El análisis y síntesis de fuerzas y momentos constituye el método básico de la mecánica vectorial. Requiere del uso privilegiado de sistemas de referencia inercial.
•La mecánica analítica (analítica en el sentido matemático de la palabra y no filosófico). Sus métodos son poderosos y trascienden de la Mecánica a otros campos de la física. Se puede encontrar el germen de la mecánica analítica en la obra de Leibniz que propone para solucionar los problemas mecánicos otras magnitudes básicas (menos oscuras según Leibniz que la fuerza y el momento de Newton), pero ahora escalares, que son: la energía cinética y el trabajo. Estas magnitudes están relacionadas de forma diferencial. La característica esencial es que, en la formulación, se toman como fundamentos primeros principios generales (diferenciales e integrales), y que a partir de estos principios se obtengan analíticamente las ecuaciones de movimiento.
Tarea de Análisis Dimensional
Utilizando análisis dimensional y usando las constantes universales $h$ (constante de planck), c (velocidad de la luz en el vacío), y G (constante de gravitación universal) calcular tres unidades naturales de $T$, $L$ y $M$, siendo $t$,$l$, y $m$ respectivamente.
Para efectuar tales operaciones utilizaremos formulas en las que aparezcan constantes universales, así como también sus dimensiones.
Para la velocidad de la luz tenemos la siguiente formula:
c=T/L, de donde $[c]=[l]/[t]$
Luego utilizando las siguientes formulas
$F=G(mM/r^2)$
$F=ma$,
Se deduce que
$ma=G(mM/r^2)$, despejando a G obetenemos lo siguiente:
$G= ar^2/M$, luego entonces usando las dimensiones obtenemos lo siguiente:
$[G]=[a][r^2]/[M] = [v/t][L^2]/M = L^3/(T^2 M)$, entonces:
$MG=L^3/L^2= K$ una constante universal por la tercera ley de Kepler.
Además, G también es una constante universal con lo cual.
$M=L^3/(T^2 G)$, por lo que
$m=l^3/t^2 G$ ...........................................................(ec. 1)
Ahora bien utilizando las siguientes ecuaciones que involucra a la constante h lo siguiente:
$E= hv$, de donde $h= E/v$
Por otro lado
$E=mgh$, donde:
$[v]=[f]=1/T$,
$[E]=M(L/T^2)L=ML^2/T^2$, por lo tanto
$[h]=ML^2/T$, entonces,
$h=ml^2/t$, despejando a m resulta:
$m=ht/l^2=h/cl$ .......................................................(ec. 2)
Luego efectuando el producto de (ec. 1) por la (ec. 2) resulta:
$m^2=(l^3/t^2 G)(h/cl)= (l^2/t^2)(h/Gc)= ch/G$, con lo cual:
$m=(ch/G)^(1/2)$, la cual es unidad natural de $M$
Ahora bien utilizando las (ec. 1) y la (ec. 2), y despejando en ambas ecuaciones a l obtenemos lo siguiente:
$l= mG/c^2$ y
$l= h/cm$ luego efectuando el producto de ambas ecuaciones resulta:
$l^2=(mG/c^2)(h/cm)=hG/c^3$, despejando a l resulta que:
$l= (hG/c^3)^(1/2)$, la cual es unidad natural para L.
Para calcular t vamos a utilizar las (ec. 1) y la (ec. 2)
Primeramente utilizando la (ec. 1) y al multiplicarla por $1/t$ resultando lo siguiente:
$m/t=(l^3/t^3)(1/G)$; de donde $(l^3/t^3)=c^3$, con lo cual $m/t=c^3/G$
luego despejando a t obtenemos como resultado.
$t=Gm/c^3$................................................................(ec. 3)
Ahora bien utilizando a la (ec. 2), y multiplicamos en ambos miembros por t obteniendo lo siguiente:
$tm= ht/cl=h/c^2$, despejando a t obtenemos lo siguiente.
$t=h/c^2m$...............................................................(ec.4)
Ahora bien efectuando el producto de (ec. 3) por la (ec. 4) obtenemos el siguiente resultado
$t^2= (Gm/c^3)(h/c^2m)=hG/c^5$, despejando a $t$ obtenemos que:
$t=(Gh/c^5)^(1/2)$, la cual es unidad natural para $T$.
Por lo tanto podemos concluir lo siguiente;
$m=(ch/G)^(1/2)$, es unidad natural de $M$.
$l= (hG/c^3)^(1/2)$, es unidad natural para $L$.
$t=(Gh/c^5)^(1/2)$, es unidad natural para $T$.
Para efectuar tales operaciones utilizaremos formulas en las que aparezcan constantes universales, así como también sus dimensiones.
Para la velocidad de la luz tenemos la siguiente formula:
c=T/L, de donde $[c]=[l]/[t]$
Luego utilizando las siguientes formulas
$F=G(mM/r^2)$
$F=ma$,
Se deduce que
$ma=G(mM/r^2)$, despejando a G obetenemos lo siguiente:
$G= ar^2/M$, luego entonces usando las dimensiones obtenemos lo siguiente:
$[G]=[a][r^2]/[M] = [v/t][L^2]/M = L^3/(T^2 M)$, entonces:
$MG=L^3/L^2= K$ una constante universal por la tercera ley de Kepler.
Además, G también es una constante universal con lo cual.
$M=L^3/(T^2 G)$, por lo que
$m=l^3/t^2 G$ ...........................................................(ec. 1)
Ahora bien utilizando las siguientes ecuaciones que involucra a la constante h lo siguiente:
$E= hv$, de donde $h= E/v$
Por otro lado
$E=mgh$, donde:
$[v]=[f]=1/T$,
$[E]=M(L/T^2)L=ML^2/T^2$, por lo tanto
$[h]=ML^2/T$, entonces,
$h=ml^2/t$, despejando a m resulta:
$m=ht/l^2=h/cl$ .......................................................(ec. 2)
Luego efectuando el producto de (ec. 1) por la (ec. 2) resulta:
$m^2=(l^3/t^2 G)(h/cl)= (l^2/t^2)(h/Gc)= ch/G$, con lo cual:
$m=(ch/G)^(1/2)$, la cual es unidad natural de $M$
Ahora bien utilizando las (ec. 1) y la (ec. 2), y despejando en ambas ecuaciones a l obtenemos lo siguiente:
$l= mG/c^2$ y
$l= h/cm$ luego efectuando el producto de ambas ecuaciones resulta:
$l^2=(mG/c^2)(h/cm)=hG/c^3$, despejando a l resulta que:
$l= (hG/c^3)^(1/2)$, la cual es unidad natural para L.
Para calcular t vamos a utilizar las (ec. 1) y la (ec. 2)
Primeramente utilizando la (ec. 1) y al multiplicarla por $1/t$ resultando lo siguiente:
$m/t=(l^3/t^3)(1/G)$; de donde $(l^3/t^3)=c^3$, con lo cual $m/t=c^3/G$
luego despejando a t obtenemos como resultado.
$t=Gm/c^3$................................................................(ec. 3)
Ahora bien utilizando a la (ec. 2), y multiplicamos en ambos miembros por t obteniendo lo siguiente:
$tm= ht/cl=h/c^2$, despejando a t obtenemos lo siguiente.
$t=h/c^2m$...............................................................(ec.4)
Ahora bien efectuando el producto de (ec. 3) por la (ec. 4) obtenemos el siguiente resultado
$t^2= (Gm/c^3)(h/c^2m)=hG/c^5$, despejando a $t$ obtenemos que:
$t=(Gh/c^5)^(1/2)$, la cual es unidad natural para $T$.
Por lo tanto podemos concluir lo siguiente;
$m=(ch/G)^(1/2)$, es unidad natural de $M$.
$l= (hG/c^3)^(1/2)$, es unidad natural para $L$.
$t=(Gh/c^5)^(1/2)$, es unidad natural para $T$.
jueves, 27 de enero de 2011
cuestionario 2
1.- Citar algunos ejemplos de fuerzas conocidas como causas de movimientos conocidos.
respuesta:
a) La fuerza del viento que mueve las aspas de um molino de viento.
b) La fuerza del agua de una cascada que mueve las paletas de una turbinas
c) La fuerza viento que mueve las copas de los árboles.
2.- ¿Como están relacionadas las fuerzas con el movimiento de traslación?
respuesta:
Están relacionados por el hecho de que para iniciar un movimiento de traslación en un cuerpo, es necesario que se le aplique un fuerza, tal fuerza debe ser no nula en el cuerpo, es decir una fuerza neta. Así la fuerza es la causa del movimiento de los cuerpos, es decir, todo aquello que produce un movimiento de traslación.
3.- Si dos fuerzas desiguales y de sentido opuesto se aplican al mismo cuerpò, ¿cuál es la dirección y sentido de su resultante?
respuesta:
La dirección sera hacia la fuerza mayor y en el mismo sentido.
4.- Una persona tira hacia el Norte con una cierta fuerza, y otran tira del mismo objeto hacia el Este con una fuerza del doble de la anterior, ¿cuál es la dirección de la fuerza resultante?
respuesta:
La dirección de la fuerza resultante es de 26º33'54.18'' midiendo el ángulo de Este a Norte.
respuesta:
a) La fuerza del viento que mueve las aspas de um molino de viento.
b) La fuerza del agua de una cascada que mueve las paletas de una turbinas
c) La fuerza viento que mueve las copas de los árboles.
2.- ¿Como están relacionadas las fuerzas con el movimiento de traslación?
respuesta:
Están relacionados por el hecho de que para iniciar un movimiento de traslación en un cuerpo, es necesario que se le aplique un fuerza, tal fuerza debe ser no nula en el cuerpo, es decir una fuerza neta. Así la fuerza es la causa del movimiento de los cuerpos, es decir, todo aquello que produce un movimiento de traslación.
3.- Si dos fuerzas desiguales y de sentido opuesto se aplican al mismo cuerpò, ¿cuál es la dirección y sentido de su resultante?
respuesta:
La dirección sera hacia la fuerza mayor y en el mismo sentido.
4.- Una persona tira hacia el Norte con una cierta fuerza, y otran tira del mismo objeto hacia el Este con una fuerza del doble de la anterior, ¿cuál es la dirección de la fuerza resultante?
respuesta:
La dirección de la fuerza resultante es de 26º33'54.18'' midiendo el ángulo de Este a Norte.
5.- ¿A qué se le llama brazo de una fuerza con respecto a un punto dado?
respuesta:
A la distancia perpendicular que hay entre el centro de giro a la dirección de la fuerza o a su prolongación.
6.- Definir una torca de una fuerza con relación a un punto.
respuesta:
Se llama torca de una fuerza con relación a un punto, al producto del valor de dicha fuerza por su brazo con respecto a dicho punto.
7.- ¿Cuándo es máxima y cuándo es mínima la torca de una fuerza con relación a un punto
dado?
respuesta:
Es máxima cuando la dirección de la fuerza es perpendicular a la distancia entre el punto de aplicación de la fuerza y el centro de giro, es mínima cuando la dirección de la fuerza forma un ángulo no recto a la distancia entre el punto de aplicación de la fuerza y el centro de giro.
8.- ¿En que casos puede anularse un torca?
respuesta:
Se anula cuando coinciden las direcciones de la fuerza y la distancia entre el punto de aplicación de la fuerza y el centro de giro.
9.- ¿Como están relacionadas las torcas con el movimiento de rotación?
respuesta:
Están relacionadas por el hecho de que, para iniciar un movimiento de rotación alrededor de un punto dado, hace falta una torca respecto a dicho punto.
10.- ¿Cuáles don la dirección y el sentido de una torca considerada como un vector?
respuesta:
Se le define su dirección perpendicular a plano en que se efectúa la rotación y el sentido determinado por su misma rotación.
11.- Citar diferentes tipos de torcas y describir el movimiento que producen.
respuesta:
a) Al abrir una puerta; efectuándose un movimiento de rotación por medio de una fuerza
perpendicular aplicada en el picaporte.
b) El movimiento de las hélices para generar energía; el viento como energía aplicada sobre cada de las hélices de las maquinarias de molinos produciéndose así un movimiento de rotación.
c) El abrir una botella; se un movimiento de rotación para poder abrir tal botella.
cuestionario 1
1.- ¿Si un cuerpo tarda 3 s en recorrer 15 m, cuál es su velocidad?
respuesta:
Su velocidad es de 15m/3s.
2.- Si la velocidad de un cuerpo es de 20 km/h, ¿qué distancia recorre en 4h?
respuesta:
Utilizando la fórmula d=vt, entonces;
d=(20 km/h)(4h)=(4)(20 km)= 80 km.
Entonces la distancia recorrida es de 80 km.
3.- ¿En cuanto tiempo recorre un cuerpo una distancia de 24 m si su velocidad es de 8 m/s?
respuesta:
Utilizando la fórmula t=d/v, entonces;
t=(24 m)/(8 m/s)=(24)/(8)s=3s
Entonces el tiempo requerido es de 3s
4.- ¿Cuál es la frecuencia de un movimiento circular si el cuerpo gira un ángulo de 90 grados en un tiempo de 2s?
respuesta:
Dado que f=ciclos/segundo, y además 90 grados es igual a un cuarto de ciclo, entonces;
f=(1/4 ciclos)/(2 s)=1 ciclo/8 s.
Entonces, la frecuencia es de 1 ciclo cada 8 segundos, es decir, f=1 ciclo/8 s.
5.- ¿Cuál es el periodo de un movimiento circular si su frecuencia es de 200 hrtz?
respuesta:
Dado que el periodo es igual al reciproco de la frecuencia, entonces;
periodo (T)= 1s/200 ciclos.
6.-¿En cuántos y cuáles movimiento se puede descomponer el movimiento rígido?
respuesta:
El movimiento rígido siempre se puede descomponer en dos movimientos, a saber, un movimiento es el de traslación de su centro guía y el otro movimiento es el de rotación de todo el cuerpo alrededor de dicho centro guía.
7.- ¿A cuántos m/s equivale un km/h?
respuesta:
Se sabe que 1000m=1 km, ahora bien, calculemos lo equivalente en segundos lo de una hora.
1h=60min=3600s. Con lo cual;
km/h=1000m/3600s=5m/18s.
8.- ¿Qué relación existe entre la frecuencia y el periodo de un movimiento circular?
respuesta:
La relación que existe, es que ambos miden el movimiento rotatorio, la frecuencia es el número de ciclos(vueltas) dados por el cuerpo por cada segundo, mientras que el periodo del movimiento de rotación es el tiempo empleado en dar una vuelta completa(ciclo).
9.- En los juegos olímpicos "México 68" el corredor J. Hines de Estados Unidos hizo 9 s 9/10 en la carrera de 100 metros planos y M Wolde de Abisinia hizo 2h 20min 26s, en el maratón (42.195 km). Calcular sus velocidades en metros por segundo.
respuesta:
1) Para el corredor sabemos que hizo 9s 9/10, es decir, 99/10 s en 100m de lo cual, convirtiendo la velocidad a m/s, entonces;
$v_1$=$\frac{100m}{(99/10)s}$=$\frac{1000m}{99s}$
2) Para el corredor de maratón tenemos que recorrió la distancia de 42.195km, que es igual a 42195m en 2h 20 min 26 s, transformando esta cantidad de tiempo en su equivalente en segundos obtenemos lo siguiente:
2h=2(60 min)=2(60)(60) s=7200 s;
20 min= 20(60) s=1200 s
y 26 s=26 s
Por tanto el tiempo total empleado en segundos es de (7200+1200+26)s=8426s
con lo cual:
$v_2$=$\frac{42195m}{8426s}$
10.- ¿Qué es más conveniente para un avión: aterrizar a favor o en contra del viento?
respuesta:
Dado que se desea aterrizar, lo conveniente es hacerlo en contra del viento para contrarrestar de cierta forma la velocidad del avión.
11.- Dos automóviles separados por una distancia de un kilómetro van al encuentro uno del otro con velocidades de 40$\frac{m}{s}$ y 60$\frac{m}{s}$. ¿Cuántos segundos tardarán en chocar?
respuesta:
El tiempo que tardarán en chocar sera el mismo tiempo que empleara un cuerpo en recorrer el kilómetro con una velocidad $v$= 40$\frac{m}{s}$ + 60$\frac{m}{s}$=100$\frac{m}{s}$, por tanto, el tiempo en recorrer dicho kilómetro será de;
$t$=$\frac{1000m}{100\frac{m}{s}}=$10 s$.
12.- Un aeroplano va al E a 900 $\frac{km}{h}$ con un viento del E de 1200 $\frac{km}{h}$. ¿Cuáles serán la velocidad y dirección respecto de la tierra?
respuesta:
$v$= $\sqrt{(900)^{2}+(1200)^{2}}$ $\frac{km}{h}$, por lo cual
$v$=$1500\frac{km}{h}$.
Ahora bien la dirección es E.
$t$=$\frac{1000m}{100\frac{m}{s}}=$10 s$.
12.- Un aeroplano va al E a 900 $\frac{km}{h}$ con un viento del E de 1200 $\frac{km}{h}$. ¿Cuáles serán la velocidad y dirección respecto de la tierra?
respuesta:
$v$= $\sqrt{(900)^{2}+(1200)^{2}}$ $\frac{km}{h}$, por lo cual
$v$=$1500\frac{km}{h}$.
Ahora bien la dirección es E.
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