Tarea de Análisis Dimensional

Utilizando análisis dimensional y usando las constantes universales $h$ (constante de planck), c (velocidad de la luz en el vacío), y G (constante de gravitación universal) calcular tres unidades naturales de $T$, $L$ y $M$, siendo $t$,$l$, y $m$ respectivamente.

Para efectuar tales operaciones utilizaremos formulas en las que aparezcan constantes universales, así como también sus dimensiones.

Para la velocidad de la luz tenemos la siguiente formula:
c=T/L, de donde $[c]=[l]/[t]$
Luego utilizando las siguientes formulas
$F=G(mM/r^2)$
$F=ma$,
Se deduce que
$ma=G(mM/r^2)$, despejando a G obetenemos lo siguiente:
$G= ar^2/M$, luego entonces usando las dimensiones obtenemos lo siguiente:
$[G]=[a][r^2]/[M] = [v/t][L^2]/M = L^3/(T^2 M)$, entonces:

$MG=L^3/L^2= K$ una constante universal por la tercera ley de Kepler.
Además, G también es una constante universal con lo cual.
$M=L^3/(T^2 G)$, por lo que
$m=l^3/t^2 G$ ...........................................................(ec. 1)

Ahora bien utilizando las siguientes ecuaciones que involucra a la constante h lo siguiente:
$E= hv$, de donde $h= E/v$
Por otro lado
$E=mgh$, donde:
$[v]=[f]=1/T$,
$[E]=M(L/T^2)L=ML^2/T^2$, por lo tanto
$[h]=ML^2/T$, entonces,
$h=ml^2/t$, despejando a m resulta:
$m=ht/l^2=h/cl$ .......................................................(ec. 2)

Luego efectuando el producto de (ec. 1) por la (ec. 2) resulta:
$m^2=(l^3/t^2 G)(h/cl)= (l^2/t^2)(h/Gc)= ch/G$, con lo cual:

$m=(ch/G)^(1/2)$, la cual es unidad natural de $M$


Ahora bien utilizando las (ec. 1) y la (ec. 2), y despejando en ambas ecuaciones a l obtenemos lo siguiente:

$l= mG/c^2$ y
$l= h/cm$ luego efectuando el producto de ambas ecuaciones resulta:

$l^2=(mG/c^2)(h/cm)=hG/c^3$, despejando a l resulta que:

$l= (hG/c^3)^(1/2)$, la cual es unidad natural para L.

Para calcular t vamos a utilizar las (ec. 1) y la (ec. 2)
Primeramente utilizando la (ec. 1) y al multiplicarla por $1/t$ resultando lo siguiente:

$m/t=(l^3/t^3)(1/G)$; de donde $(l^3/t^3)=c^3$, con lo cual $m/t=c^3/G$
luego despejando a t obtenemos como resultado.
$t=Gm/c^3$................................................................(ec. 3)


Ahora bien utilizando a la (ec. 2), y multiplicamos en ambos miembros por t obteniendo lo siguiente:

$tm= ht/cl=h/c^2$, despejando a t obtenemos lo siguiente.

$t=h/c^2m$...............................................................(ec.4)

Ahora bien efectuando el producto de (ec. 3) por la (ec. 4) obtenemos el siguiente resultado

$t^2= (Gm/c^3)(h/c^2m)=hG/c^5$, despejando a $t$ obtenemos que:

$t=(Gh/c^5)^(1/2)$, la cual es unidad natural para $T$.

Por lo tanto podemos concluir lo siguiente;

$m=(ch/G)^(1/2)$, es unidad natural de $M$.
$l= (hG/c^3)^(1/2)$, es unidad natural para $L$.
$t=(Gh/c^5)^(1/2)$, es unidad natural para $T$.